List

В основе этого способа закон сохранения кинетического момента системы, который складывается из кинетического момента КА (произведение момента инерции на угловую скорость) и кинетического момента двух грузов относительно оси КА (произведение расстояния от оси КА до груза на массу груза и на его поперечную составляющую скорости).

Тросики двух грузов одинаковой длины наматывается симметрично относительно продольной оси КА на его цилиндрический корпус (КА вращается вокруг своей продольной оси). Для гашения угловой скорости КА грузики освобождаются и в своем движении разматывают нить. Расстояние от оси КА до грузов после их освобождения постоянно растёт, увеличивается их вклад в кинетический момент всей системы, что и приводит к уменьшению угловой скорости КА. После уменьшения угловой скорости до заданного значения тросы с грузиками отсоединяются от КА, “унося” с собой избыточный кинетический момент.

Этот метод использовался, например, для гашения угловой скорости орбитальной ступени при выведении КА “Кеплер”. Разработан метод в 1962 году.

Рассмотрим простейшую модель плоского движения КА и грузов.

Математическая модель

Расчётная схема системы йо-йо

Рисунок 1 – Расчётная схема системы йо-йо

Системы координат

Свяжем с КА систему координат C x_1 y_1 z_1. Предположим, что КА вращается вокруг свой продольной оси z_1 (рисунок 1). Угловое положение КА относительно неподвижной системы координат C x_0 y_0 задаётся углом \varphi.

В общем случае положение грузов, массы которых равны, определяется двумя независимыми углами \alpha_1 и \alpha_2, но для упрощения уравнений движения предположим, что грузы относительно центра масс КА располагаются всегда симметрично, т. е.  линия, соединяющая грузы, всегда проходит через начало координат – точку C. Учитывая эту симметрию, положение грузов будем определять одним углом \alpha = \alpha_1 = \alpha_2. Таким образом, рассматриваемая система будет иметь всего две степени свободы.

Если же считать движение грузов независимым, то необходимо учитывать и движение центра масс КА в плоскости рисунка 1. В этом случае начало инерциальной системы координат уже не совпадало бы с центром масс КА и была бы необходимость учитывать движения центра масс КА при определении положений и скоростей грузов, что усложнило бы модель.

Уравнения движения

Для записи уравнений движения используем формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид:

(1)   \begin{align*} & \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{ \partial \dot \varphi} - \frac{\partial T}{ \partial \varphi} = 0, \\ & \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{ \partial \dot \alpha} - \frac{\partial T}{ \partial \alpha} = 0. \end{align*}

Правая часть этих уравнений не содержит обобщенных сил, поскольку никакие внешние силы на рассматриваемую механическую систему не действуют а все связи внутри системы (нерастяжимый трос, твердое тело) идеальные.

Для записи уравнений (1) необходимо построить выражение для кинетической энергии, которое будет определяется тремя слагаемыми

(2)   \begin{equation*} T = T_c + T_1 + T_2 \end{equation*}

где T_c – кинетическая энергия вращательного движения КА, зависящая от угловой скорости КА \omega = \dot \varphi и его момента инерции J относительно оси вращения:

(3)   \begin{equation*} T_c = \frac{J \dot \varphi^2}{2}, \end{equation*}

T_1, T_2 – кинетические энергии грузов:

(4)   \begin{equation*} T_1 = \frac{m v_1^2}{2}, \quad T_2 = \frac{m v_2^2}{2}. \end{equation*}

Кинематические соотношения

Скорость грузов определяется выражением

(5)   \begin{equation*} \boldsymbol v_1 = \frac{d \boldsymbol r_1}{dt}, \quad \boldsymbol v_2 = \frac{d \boldsymbol r_2}{dt}, \end{equation*}

где \boldsymbol r_1 и \boldsymbol r_2 – координатные столбцы положений грузов в инерциальной системе координат C x_0 y_0.

В системе координат Cxy, связанной с вращающимся телом, координаты грузов определяются координатными столбцами \boldsymbol \rho_1 и \boldsymbol \rho_2

(6)   \begin{equation*} \boldsymbol \rho_1 = r \begin{bmatrix} \sin \alpha - \alpha \cos \alpha \\ \cos \alpha + \alpha \sin \alpha \end{bmatrix}, \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} \boldsymbol \rho_2 = r \begin{bmatrix} -\sin \alpha + \alpha \cos \alpha \\ -\cos \alpha - \alpha \sin \alpha \end{bmatrix}. \end{equation*}

В неподвижной системе Сx_0y_0 координаты грузов будут другими, поскольку система координат Сxy повёрнута относительно Сx_0y_0 на угол \varphi. Преобразование координат из базиса Cxy в базис Сx_0y_0 задается матрицей поворота \boldsymbol A:

(8)   \begin{equation*} \boldsymbol A = \begin{bmatrix} \cos \varphi & - \sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix}. \end{equation*}

Координатные столбцы грузов относительно инерциальной системы координат Сx_0y_0 определяются выражениями

(9)   \begin{equation*} \boldsymbol r_1 = \boldsymbol A \cdot \boldsymbol \rho_1, \quad \boldsymbol r_2 = \boldsymbol A \cdot \boldsymbol \rho_2. \end{equation*}

Подставляя в (9) выражения (6), (7) и (8), после преобразований получим координатные столбцы грузов в инерциальной системе координат:

(10)   \begin{equation*} \boldsymbol r_1 =\begin{bmatrix} \sin (\alpha - \varphi) - \alpha \cos (\alpha - \varphi) \\ \cos (\alpha - \varphi) + \alpha \sin (\alpha - \varphi) \end{bmatrix} r, \end{equation*}

(11)   \begin{equation*} \boldsymbol r_2 =\begin{bmatrix} \alpha \cos (\alpha - \varphi) - \sin (\alpha - \varphi) \\ - \cos (\alpha - \varphi) + \alpha \sin (\alpha - \varphi) \end{bmatrix} r. \end{equation*}

Продифференцировав выражения (10) и (11) получим абсолютные скорости грузов

(12)   \begin{equation*} \boldsymbol v_1 =\begin{bmatrix} - \alpha (\dot \varphi - \dot \alpha) \sin (\alpha -\varphi ) - \dot \varphi \cos (\alpha -\varphi ) ) \\ \alpha (\dot \alpha - \dot \varphi) \cos (\alpha -\varphi )+ \dot \varphi\sin (\alpha -\varphi ) \end{bmatrix} r \end{equation*}

(13)   \begin{equation*} \boldsymbol v_2 =\begin{bmatrix} \alpha (\dot \varphi - \dot \alpha) \sin (\alpha -\varphi ) + \dot \varphi \cos (\alpha -\varphi ) ) \\ -\alpha (\dot \alpha - \dot \varphi) \cos (\alpha -\varphi ) - \dot \varphi\sin (\alpha -\varphi ) \end{bmatrix} r \end{equation*}

Квадраты линейных скоростей, входящих в выражение для кинетической энергии, могут быть в форме скалярных произведений:

    \[v_1 = \boldsymbol v_1^T \cdot \boldsymbol v_1, \quad v_2 = \boldsymbol v_2^T \cdot \boldsymbol v_2.\]

Кинетическая энергия системы и уравнения движения

Подставив (12) и (13) в (4) и (2), после упрощений получим выражение для кинетической энергии системы

(14)   \begin{equation*} T = \frac{1}{2} (J+2 m r^2) \dot \varphi^2 + m r^2 \alpha^2 (\dot \alpha - \dot \varphi)^2. \end{equation*}

что позволит сформировать уравнения движения (1)

(15)   \begin{equation*} \begin{array}{l} 2 m [ (\ddot \varphi - \ddot \alpha) \alpha^2+2 \dot \alpha (\dot \varphi - \dot \alpha) \alpha + \ddot \varphi] r^2+J \ddot \varphi =0 \\ \alpha [ \dot \alpha ^2 - \dot \varphi^2 + \alpha (\ddot \alpha- \ddot \varphi)]=0 \end{array} \end{equation*}

Пример

Предположим, что КА имеет момент инерции равный 1000 кг\cdotм^2, масса каждого груза 10 кг, радиус намотки тросов 1 м. Пусть в начальный момент времени КА вращается с угловой скоростью 1 оборот в секунду или 2\pi радиан в секунду.

Результаты интегрирования системы уравнений (15) представлены на рисунке 2. На рисунке 2а приведен график изменения угловой скорости КА. При выбранных параметрах системы угловая скорость КА снижается до нуля за 1,1 секунды. При этом относительно КА трос повернется на угол около 400 градусов, что означает, что длина троса l=l_1=l_2 (рисунок 1), смотанной с КА при достижении нулевой угловой скорости, будет равна 7 метрам (рисунок 2б).

Рисунок 2 – Угловая скорость КА и свободная длина троса

Построение уравнений движения в системе Mathematica

yoyo_sec1

yoyo_sec2

yoyo_sec3

yoyo_sec4

yoyo_sec5

  Posts

July 14th, 2017

7-я Европейская конференция по космическому мусору

Презентация о проблеме космического мусора с обзором некоторых работ 7-ой Европейской конференции по космическому мусору в Германии. Презентация была представлена […]

June 30th, 2016

XII Summer Space School

In June 30 I took part in XII Summer Space School as a lecturer. The event was held at the Samara University. […]

March 5th, 2016

2nd IAA Latin American CubeSat Workshop

January 31st, 2016

Схема йо-йо: уменьшение угловой скорости КА при помощи двух грузов на тросе

В основе этого способа закон сохранения кинетического момента системы, который складывается из кинетического момента КА (произведение момента инерции на угловую […]

September 22nd, 2015

CubeSat SamSat-218 is ready for launch

July 6th, 2015

Построение в системе Mathematica модели движения двух тел, связанных пружиной

Построим уравнения движения механической системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел, соединенных пружиной, при этом одно из тел […]

July 6th, 2015

Анимация в Mathematica

Рассмотрим простой пример построения в Математике анимации углового движения твердого тела, используя результаты расчётов, сохраненные в csv файле. Файл data.csv […]

July 6th, 2015

Алгоритм метода отдельных тел в MATLAB

Вариант реализации алгоритма метода отдельных тел на языке матричной алгебры MATLAB на примере модели тройного физического маятника, изображенного на рисунке. […]

April 10th, 2015

Simulation of the latching mechanism of a solar panel

Using the Mathematica function HeavisideTheta to simulate the latching mechanism of a solar panel. Link to the Mathematica file: Latch.nb